注重數學思想方法 提高學生解題能力
瀘縣二中城西學校 曹利均
【內容摘要】：
初中總復習，有些大搞題海戰術，學生知識機械性的模仿，只要條件稍微改變就不知所措，不能形成較強的解題能力，久而久之，就會對學習產生畏懼和厭煩的情緒。原因在于沒有真正的領悟隱含于數學問題探索中的數學思想方法，未能從中掌握關于數學思想方法方面的知識，并使這種“知識”消化吸收成具有“個性”的數學思想方法，逐步形成用數學思想方法指導思維活動的習慣。
【關鍵詞】：分類討論 轉化思想 數形結合 方程、函數思想
在當前初中總復習階段，許多學生整天埋頭于題海，認為“不進題海難攻題”。但往往產生這樣的困惑：題目做得不少，當總停留在模仿型解題的水平上，只要條件稍微改變就不知所措，不能形成較強的解題能力，久而久之，就會對學習產生畏懼和厭煩的情緒.究其原因是學生沒有真正的領悟隱含于數學問題探索中的數學思想方法，未能從中掌握關于數學思想方法方面的知識，并使這種“知識”消化吸收成具有“個性”的數學思想方法，逐步形成用數學思想方法指導思維活動的習慣。在復習過程中，對具有強大統攝性的數學思想方法進行提煉，并通過反思指導實踐，使學生體會到數學思想方法是解題的靈魂，達到徹底理解所學知識，提高分析問題和解決問題的能力的目的。
初中階段經常運用的數學思想方法有：分類思想、轉化思想（又稱轉換思想或化歸思想）、數學模型思想、數形結合思想（從代數角度滲透數形結合，從幾何角度滲透形數結合）、方程思想、函數思想等，這些是初中階段重點考查的數學思想方法，突出這些數學基本思想方法就相當于抓住中學數學知識的精髓。
- 分類討論的思想
在解決問題時，往往并沒有明確地把“分類法”表述出來，這就需要學生用心體會，才能領悟到，但這不是所有學生都能做到的。在解題過程中,當條件或結論不唯一時,會產生幾種可能性,就需要分類討論。這就需要教師對教材下一番改造制作的功夫，教師可以進一步要求學生表述他們對分類的理解，以及說一說為什么這樣分類？通過交流數學思考及時引導學生學習分類法。
例：等腰三角形的邊長分別為2和9，求此三角形的周長。
分析：此題中沒有指明邊長分別為2和9中的邊是腰還是底邊，因此要分2為腰或是底邊，同時還要考慮以這些長度能否組成三角形。
例:已知關于的函數的圖象與軸總有交點，求的取值范圍。
分析:由于題中未指明函數的次數，所以可分為一次函數和二次函數兩種情形討論。
當,即時,函數為一次函數,顯然與軸總有一個交點;
當時,函數為二次函數,應滿足即,解得,且.
綜合上述情形,得.
- 轉化思想
解二元一次方程組的思想是消元，轉化成一元方程；解一元二次方程的思想是降次，轉化成一次方程。因此我們就可以把多元高次方程組通過消元、降次轉變成一元一次方程來解，就是運用化歸思想方法產生出來的。
在初中數學中，分式方程可以轉化為整式方程、高次方程可轉化為低次方程、由點坐標確定函數的解析式可轉化為解方程(組)、確定自變量的取值范圍可轉化為解不等式(組)、幾何中線段的比之間的轉化、角的度數與線段比之間的轉化等等，可以說轉化思想無處不在，運用轉化可以化繁為簡、化抽象為具體、化無序為有序。
例:解方程：
分析：在解方程時要先確定最簡公分母，把各分母按未知數的降冪排列，并分解因式來確定公分母為，方程兩邊同乘以，將分式方程轉化為整式方程來解。
- 數學模型思想
方程、函數等概念都是從客觀事物的某種數量關系或空間形式中抽象出來的數學模型。在建立數學模型時根據問題的特征和目的，利用適當的數學工具、數學知識來刻畫變量之間的數量關系，建立其相對應的數學結構。數學建模就是靈活綜合地運用數學知識來處理和解決實際問題，建模思想強調的就是在解決這類數學問題時，要有數學建模的自覺意識或觀點，這實際上就是數學知識的應用意識。
4、數形結合思想
“數”與“形” ，是數學研究的對象，也是中學數學的主要內容。若能把“數”與“形”很好地結合起來，那么一些看似復雜的問題就會迎刃而解。使解題手段從“單一”走向“靈活”，體會到數學之美，從而感嘆數學之精妙。
在解題時,如果我們有意識地運用數形結合的思想方法，可以使思維過程中的數學形象思維和邏輯思維交織在一起展開，他們互相滲透、互相啟發，使我們的思維方向朝著不同的角度、不同的方向轉化，并得以升華.
例：如圖，一次函數與反比例函數的圖象交于兩點.
(1)求一次函數與反比例函數的解析式；
(2)寫出使一次函數的值大于反比例函數的值的x的取值范圍.
解析：由于點在反比例函數的圖象上，所以，即反比例函數的解析式為.點在反比例函數的圖象上，所以，即點坐標為(1,-6) .
又由于點A、B兩點都在一次函數的圖象上，所以，解得.即一次函數的解析式是.
由圖象易知，當或時，一次函數的值大于反比例函數的值.
關于“數形結合”思想的優越性易于發現解題思路，尋找解題途徑；能避免復雜的計算和推理簡化解題過程，從而直接得出結果；能提供一種檢驗解答結果是否正確的方法。
5、方程思想
許多數學問題的解決都離不開方程,例如函數表達式或方程中未知數的確定,幾何中邊長、角度、面積的求解、應用題等，都可以通過尋找已知量與未知量之間的相等關系，適當設元，列出方程或方程組，從而解決問題。
6、函數的思想
函數所揭示的是兩個變量之間的對應關系，就是一個量的變化引起了另一量的變化.在數學中總是設法將這種對應關系用解析式、圖象、或表格表示出來，這樣可充分運用函數的知識、方法解決問題.
例：（2008瀘州八年級抽考）一艘輪船和一艘快艇沿相同航線從甲港出發到乙港，其行駛過程中行程（千米）隨時間（時）變化的圖象所示，
根據圖象解答下列問題：
（1）請分別求出表示輪船和快艇行駛過程的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）輪船和快艇各用了幾小時到達乙港？（3）問快艇出發多長時間趕上輪船？
本題較好地考查了學生建立描述實際問題的函數或方程組，再利用函數或方程組解決實際問題的能力。（1）小題可以考查學生運用待定系數法，通過解方程組求得函數表達式的能力；（2）小題考查了學生從函數表達式出發，利用函數圖象解決實際問題的能力。
7、類比的思想
類比是一種重要的思維形式.復習中,注重類比的思想,可以提高解題的能力,起到事半功倍的效果.例如,把分式的基本性質和分數的基本性質類比,把小學學到的分數的通分、約分、分數的四則運算與分式的通分、約分、分式的四則運算進行類比,從而更好的掌握分式的運算。
當前，有些大搞“題海戰術”，以此謀求所謂高分。不可否認，這種做法對培養學生模仿能力、記憶能力上有一定作用，學生經過反復練習，固然能掌握一部分數學知識，但由于學生的思維是在固定模式中機械地反復運動，容易形成思維上的惰性，從而導致思維“功能的僵化”，學習缺少主動性，缺乏判斷力和獨立思考能力，思想方法沒有得到應有的提高，創新能力得不到應有的培養，學生在一旦條件、結論發生變化時，不知所措，一籌莫展，這種得不償失的做法 。
教師應引導學生，組織學生積極參與教學過程，在老師的啟發引導下逐步領悟、形成、理解數學思想方法,充分地使學生展示自己的思維能力和想象能力，盡可能讓學生自己發現、歸納、總結知識，一旦學生感覺到自己真正在參與數學教學活動，那么，學生對學習的興趣愿望、積極性及學習效果就容易產生飛躍 。
